Matematics

Probabilidad

La probabilidad es el cálculo matemático que evalúa las posibilidades que existen de que una cosa suceda cuando interviene el azar.

Tipos de probabilidad

Existen los siguientes tipos de probabilidad:

Frecuencial. Aquella que determina la cantidad de veces que un fenómeno puede ocurrir, considerando un número determinado de oportunidades, a través de la experimentación.
Matemática. Pertenece al ámbito de la aritmética, y aspira al cálculo en cifras de la probabilidad de que determinados eventos aleatorios tengan lugar, a partir de la lógica formal y no de su experimentación.
Binomial. Aquella en la que se estudia el éxito o fracaso de un evento, o cualquier otro tipo de escenario probable que tenga dos posibles resultados únicamente.
Objetiva. Se denomina así a toda probabilidad en la que conocemos de antemano la frecuencia de un evento, y simplemente se dan a conocer los casos probables de que ocurra dicho evento.
Subjetiva. Contrapuesta a la matemática, se sustenta en ciertas eventualidades que permiten inferir la probabilidad de un evento, aunque alejada de una probabilidad certera o calculable. De allí su subjetividad.

Fórmula para calcular la probabilidad

El cálculo de las probabilidades se lleva a cabo según la fórmula siguiente:

Probabilidad = Casos favorables / casos posibles x 100 (para llevarlo a porcentaje).

Ejemplo

Estadistica y eventos

En estadística, un evento o suceso es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio.

Tipos de eventos

Evento simple o suceso elemental

Un suceso es un subconjunto del espacio muestral que contiene un único elemento.

Ejemplos de espacios muestrales y sucesos elementales:

Si se trata de contar objetos y el espacio muestral S = {0, 1, 2, 3, …} (los números naturales), entonces los sucesos elementales son cada uno de los conjuntos {k}, donde k ∈ N.
Si se lanza una moneda dos veces, S = {cc, cs, sc, ss}, donde (c representa “sale cara” y s, “sale cruz”), los sucesos elementales son {cc}, {cs}, {sc} y {ss}.
Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida, S = (-∞, +∞), los números reales, los sucesos
elementales son todos los conjuntos {x}, donde x ∈ $\mathbb R$ .

Los sucesos elementales pueden tener probabilidades que son estrictamente mayores que cero, cero, no definidas o cualquier combinación de estas. Existen distribuciones mixtas que no son completamente continuas, ni completamente discretas, entre las que pueden darse ambas situaciones.

Escalas de medicion en estadística

Nominal, que describe variables cuya diferencia entre sí radica más en la cualidad que en la cantidad.

Ordinal, que describe variables sobre un continuo en el que sus valores pueden ordenarse, o sea, asignar una jerarquía o un orden a los datos.

Intervalar, que describe variables cuyos valores establecen intervalos reconocibles.

Racional, que describe variables con intervalos iguales y que permiten situar un cero absoluto, de modo tal que represente la ausencia de características.

Ejemplo

Variaciones

Se llama variaciones ordinarias de $m$ elementos tomados de $n$ en $n$ $(m\geq n)$ a los distintos grupos formados por $n$ elementos de forma que:

No entran todos los elementos
Sí importa el orden
No se repiten los elementos
$\textrm{V}_{m}^{n}=m(m-1)(m-2)(m-3)...(m-n+1)$
También podemos calcular las variaciones mediante factoriales:
$\textrm{V}_{m}^{n}=\cfrac{m!}{(m-n)!}$

Las variaciones se denotan por $\textrm{V}_{m}^{n}\; \textup{o}\; \textrm{V}_{m,n}$

Variaciones con repetición

Se llama variaciones con repetición de $m$ elementos tomados de $n$ en $n$ a los distintos

grupos formados por $n$ elementos de manera que:

No entran todos los elementos si $m> n$ . Sí pueden entrar todos los elementos si $m\leq n$
Sí importa el orden
Sí se repiten los elementos

$\textup{VR}^{n}_{m}=m^{n}$

Combinaciones

Se llama combinaciones de $m$ elementos tomados de $n$ en $n$ $(m\geq n)$ a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los $m$ elementos de forma que:

No entran todos los elementos
No importa el orden
No se repiten los elementos

$\textup{C}_{m}^{n}=\cfrac{\textup{V}^{n}_{m}}{P_{n}}$

También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:

$\textup{C}_{m}^{n}=\cfrac{m!}{n!(m-n)!}$

Combinaciones con repetición

Las combinaciones con repetición de $m$ elementos tomados de $n$ en $n$ $(m\geq n)$ , son los distintos grupos formados por $n$ elementos de manera que:

No entran todos los elementos
No importa el orden
Sí se repiten los elementos

$\textup{CR}=\begin{pmatrix} m+n-1\\ n \end{pmatrix} =\cfrac{(m+n-1)!}{n!(m-1)!}$

Ejemplo

Permutaciones

Sí entran todos los elementos
Sí importa el orden
No se repiten los elementos

$\textup{P}_{n}=n!$

Permutaciones circulares

Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.

$\textup{PC}_{n}=\textup{P}_{n-1}=(n-1)!$

Permutaciones con repetición

Permutaciones con repetición de $n$ elementos donde el primer elemento se repite $a$ veces , el segundo $b$ veces , el tercero $c$ veces,... de tal modo que $(n=a+b+c+...)$ , son los distintos grupos que pueden formarse con esos $n$ elementos de forma que :